NOI 2002 机器人M号
该问题的数学模型是数论问题。机器人M号的所有老师就是小于M大于1M的所有约数，M号机器人的独立数就是小于M于M互质的数的个数，即为M的欧拉函数φ(M)。
把M分解为P1^e1P2^e2…*Pk^ek，欧拉函数有公式为
φ(M)=(P1-1)*P1^(e1-1) * (P2-1)*P2^(e2-1) * … * (Pk-1)*Pk^(ek-1)
于是所有“政客”的独立数之和就是M的奇质因数中选出偶数个不同的质因数乘积的欧拉函数值之和，“军人”则是选出奇数个。“学者”无法直接 算出，然我们知道除了“政客”和“军人”就是学者，只需用小于M的M的所有约数的独立数之和减去“政客”和“军人”的独立数即可。可以证明，M的所有约数 的欧拉函数之和等于M。
求“政客”和“军人”分别的独立数之和，可以递推求出。定义F[i]为M的所有大于2的质因数中的选择i个质因数的欧拉函数和。F[j] = F[j] + F[j-1] * (P[i]-1) 。“政客”的独立数之和就是∑F[i] (i为偶数)，“军人”的独立数之和就是∑F[i] (i为奇数)。
/*
* Problem: NOI2002 robot
* Author: Guo Jiabao
* Time: 2009.5.19 17:43
* State: Solved
* Memo: 欧拉函数
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
const int MAXK=1001,MOD=10000;
using namespace std;
int P[MAXK],E[MAXK],F[MAXK],r1,r2,r3,M=1,K;
void init()
{
freopen("robot.in","r",stdin);
freopen("robot.out","w",stdout);
scanf("%d",&K);
for (int i=1;i<=K;i++)
scanf("%d%d",&P[i],&E[i]);
}
int QuickPower(int a,int k)
{
if (k==1)
return a % MOD;
int t = QuickPower(a,k/2);
t = t * t % MOD;
if (k%2)
t = t * a % MOD;
return t;
}
void solve()
{
int i,j,a=1;
if (P[1]==2)
a=2;
F[0]=1;
for (i=a;i<=K;i++)
for (j=i-a+1;j>=1;j--)
F[j] = ( F[j] + F[j-1] * (P[i]-1) ) % MOD;
for (i=1;i<=K-a+1;i++)
if (i%2)
r2 = (r2 + F[i]) % MOD;
else
r1 = (r1 + F[i]) % MOD;
for (i=1;i<=K;i++)
M = ( M * QuickPower(P[i],E[i]) ) % MOD;
r3 = (M + MOD + MOD + MOD - r1 - r2 - 1) % MOD;
}
int main()
{
init();
solve();
printf("%dn%dn%dn",r1,r2,r3);
return 0;
}
<h2><span class="mw-headline">机器人M号 </span></h2>
【问题描述】
3030年，Macsy正在火星部署一批机器人。
第1秒，他把机器人1号运到了火星，机器人1号可以制造其他的机器人。
第2秒，机器人1号造出了第一个机器人——机器人2号。
第3秒，机器人1号造出了另一个机器人——机器人3号。
之后每一秒，机器人1号都可以造出一个新的机器人。第m秒造出的机器人编号为m。我们可以称它为机器人m号，或者m号机器人。
机器人造出来后，马上开始工作。m号机器人，每m秒会休息一次。比如3号机器人，会在第6，9，12，……秒休息，而其它时间都在工作。
机器人休息时，它的记忆将会被移植到当时出生的机器人的脑中。比如6号机器人出生时，2，3号机器人正在休息，因此，6号机器人会收到第2，3号机器人的记忆副本。我们称第2，3号机器人是6号机器人的老师。
如果两个机器人没有师徒关系，且没有共同的老师，则称这两个机器人的知识是互相独立的。注意：1号机器人与其他所有机器人的知识独立（因为只有1号才会造机器人），它也不是任何机器人的老师。
一个机器人的独立数，是指所有编号比它小且与它知识互相独立的机器人的个数。比如1号机器人的独立数为0，2号机器人的独立数为1（1号机器人与它知识互 相独立），6号机器人的独立数为2（1，5号机器人与它知识互相独立，2，3号机器人都是它的老师，而4号机器人与它有共同的老师——2号机器人）。
新造出来的机器人有3种不同的职业。对于编号为m的机器人，如果能把m分解成偶数个不同奇素数的积，则它是政客，例如编号15；否则，如 果m本身就是奇素数或者能把m分解成奇数个不同奇素数的积，则它是军人，例如编号 3, 编号165。其它编号的机器人都是学者，例如编号2, 编号6, 编号9。
第m秒诞生的机器人m号，想知道它和它的老师中，所有政客的独立数之和，所有军人的独立数之和，以及所有学者的独立数之和。可机器人m号忙于工作没时间计算，你能够帮助它吗？
为了方便你的计算，Macsy已经帮你做了m的素因子分解。为了输出方便，只要求输出总和除以10000的余数。
【输入文件】
输入文件的第一行是一个正整数k(1<=k<=1000)，k是m的不同的素因子个数。
以下k行，每行两个整数，pi, ei,表示m的第i个素因子和它的指数(i = 1, 2, …, k)。p1, p2, …, pk是不同的素数，m=p1^e1 * p2^e2 * ... * pk^ek。所有素因子按照从小到大排列，即p1<p2<…<pk。输入文件中，2<=pi<10,000, 1<=ei<=1,000,000。
【输出文件】
输出文件包括三行。
第一行是机器人m号和它的老师中，所有政客的独立数之和除以10000的余数。
第二行是机器人m号和它的老师中，所有军人的独立数之和除以10000的余数。
第三行是机器人m号和它的老师中，所有学者的独立数之和除以10000的余数。
【样例输入】
<pre>3
2 1
3 2
5 1</pre>
【样例输出】
<pre>8
6
75</pre>
【样例说明】
m=2*3*3*5=90。90号机器人有10个老师，加上它自己共11个。其中政客只有15号；军人有3号和5号；学者有8个，它们的编号分别是：2,6,9,10,18,30,45,90。
【评分标准】
输出文件包含三个数。如果你的程序算对了三个数，该测试点得10分；如果你的程序算对了两个数，该测试点得7分；如果你的程序算对了一个数，该测试点得4分；如果你的程序一个数也没算对，该测试点得0分；
上次修改时间 2017-02-03