皮克定理

给定顶点座标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积S和内部格点数目a、边上格点数目b的关系：S = a + b/2 - 1。

定理提出者

Georg Alexander Pick，1859年生于维也纳，1943年死于特莱西恩施塔特集中营。

证明

因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形P，及跟P有一条共同边的三角形T。若P符合皮克公式，则只要证明P加上T的PT亦符合皮克公式（I），与及三角形符合皮克公式（II），就可根据数学归纳法，对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。

多边形

设P和T的共同边上有c个格点。

• P的面积： i_P + b_P/2 - 1
• T的面积： i_T + b_T/2 - 1
• PT的面积：

(i_T + i_P + c - 2) + (b_T- c + 2 + b_P - c + 2 ) /2 - 1

= i_PT + b_PT/2 - 1

三角形

证明分三部分：证明以下的图形符合皮克定理：

1. 所有平行于轴线的矩形；
2. 以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形；
3. 所有三角形（因为它们都可内接于矩形内，将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形）。

矩形

设矩形R长边短边各有m,n个格点：

• A_R = (m-1)(n-1)
• i_R = (m-2)(n-2)
• b_R = 2(m+n)-4

i_R + b_R/2 - 1

= (m-2)(n-2) + (m+n) - 2 - 1

= mn - (m + n) +1

= (m-1)(n-1)

直角三角形

易见两条邻边和对角线组成的两个直角三角形全等，且i,b相等。设其斜边上有c个格点。

• b = m+n+c-3
• i = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2

i + b/2 - 1

= ((m-2)(n-2) - c + 2)/2 + (m+n+c-3)/2 - 1

= (m-2)(n-2)/2 + (m+n - 3)/2

= (m-1)(n-1)/2

推广

• 取格点的组成图形的面积为一单位。在平行四边形格点，皮克定理依然成立。套用于任意三角形格点，皮克定理则是A = 2i + b - 2。
• 对于非简单的多边形P，皮克定理A = i + b/2 - χ(P)，其中χ(P)表示P的欧拉特征数。
• 高维推广：Ehrhart多项式；一维：植树问题。
• 皮克定理和欧拉公式（V-E+F=2）等价。

上次修改时间 2017-02-03