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皮克定理

給定頂點座標均是整點（或正方形格點）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積S和內部格點數目a、邊上格點數目b的關係：S = a + b/2 - 1。

定理提出者

Georg Alexander Pick，1859年生於維也納，1943年死於特萊西恩施塔特集中營。

證明

因爲所有簡單多邊形都可切割爲一個三角形和另一個簡單多邊形。考慮一個簡單多邊形P，及跟P有一條共同邊的三角形T。若P符合皮克公式，則只要證明P加上T的PT亦符合皮克公式（I），與及三角形符合皮克公式（II），就可根據數學歸納法，對於所有簡單多邊形皮克公式都是成立的。

多邊形

設P和T的共同邊上有c個格點。

• P的面積： i_P + b_P/2 - 1
• T的面積： i_T + b_T/2 - 1
• PT的面積：

(i_T + i_P + c - 2) + (b_T- c + 2 + b_P - c + 2 ) /2 - 1

= i_PT + b_PT/2 - 1

三角形

證明分三部分：證明以下的圖形符合皮克定理：

1. 所有平行於軸線的矩形；
2. 以上述矩形的兩條鄰邊和對角線組成的直角三角形；
3. 所有三角形（因爲它們都可內接於矩形內，將矩形分割成原三角形和至多3個第二點提到的直角三角形）。

矩形

設矩形R長邊短邊各有m,n個格點：

• A_R = (m-1)(n-1)
• i_R = (m-2)(n-2)
• b_R = 2(m+n)-4

i_R + b_R/2 - 1

= (m-2)(n-2) + (m+n) - 2 - 1

= mn - (m + n) +1

= (m-1)(n-1)

直角三角形

易見兩條鄰邊和對角線組成的兩個直角三角形全等，且i,b相等。設其斜邊上有c個格點。

• b = m+n+c-3
• i = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2

i + b/2 - 1

= ((m-2)(n-2) - c + 2)/2 + (m+n+c-3)/2 - 1

= (m-2)(n-2)/2 + (m+n - 3)/2

= (m-1)(n-1)/2

推廣

• 取格點的組成圖形的面積爲一單位。在平行四邊形格點，皮克定理依然成立。套用於任意三角形格點，皮克定理則是A = 2i + b - 2。
• 對於非簡單的多邊形P，皮克定理A = i + b/2 - χ(P)，其中χ(P)表示P的歐拉特徵數。
• 高維推廣：Ehrhart多項式；一維：植樹問題。
• 皮克定理和歐拉公式（V-E+F=2）等價。

上次修改時間 2017-02-03